Definition - Dirac-Maß

• Generalisierungen:
  • Maßfunktion
• Involvierte Definitionen:
  • Maßfunktion
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Dirac-Maß

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Sei fest.

Als Dirac-Maß (auch Einpunktverteilung) in bezeichnen wir:

Beweis

Wir wollen nun zeigen, dass es sich bei dem Dirac-Maß um ein wohldefiniertes Maß handelt.

Hierzu ist zu zeigen, dass:

1. und
2. ist -Additiv.

1.

Die erste Eigenschaft ist leicht einzusehen, da stets gilt: .
Damit ist folglich .

2. ist -additiv.

Es ist zu zeigen, dass

wobei eine Mengenfolge paarweise disjunkter Mengen ist.

Hierzu rufen wir uns noch mal die Definition des Dirac-Maßes in Erinnerung:

Memo - Definition des Dirca-Maßes

An dieser Stelle bietet sich eine Fallunterscheidung an:

1. Die Mengenfolge enthält (mindestens) eine Menge mit .
2. Für alle Mengen gilt mit .

2.1 enthält (mindestens) eine Menge mit .

Damit gilt auf jeden Fall schon mal

denn .

Da die Mengen der Folge nach Voraussetzung paarweise disjunkt sind, gilt hier sogar, dass es nur genau eine Menge mit geben kann.

Gäbe es eine zweite Menge mit so wäre ↯ und das geht nicht, denn alle sind ja paarweise disjunkt.

Damit gilt weiter:

Also

was zu zeigen war.

2.2 Für alle Mengen gilt mit .

Dann kann auch nicht Element der disjunkten Vereinigung sein, also

Dann ist aber auch:

Also

was zu zeigen war.

3.3 Schluss

Da also in jedem Fall

ist -Additiv, was zu zeigen war.

3. Schluss

Da beide Eigenschaften

1. und
2. ist -Additiv.

gezeigt werden konnten, gilt, dass es sich bei um eine wohldefinierte Maßfunktion handelt - was zu zeigen war.